Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran
público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Pero las Matemáticas le
deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las
primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la
Aritmética, de la Astronomía y de la Música. Pero antes de Pitágoras otras dos
culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas muy potentes: los
babilonios y los egipcios. Exploraremos sus aportaciones tanto en el terreno de
los sistemas de numeración que empleaban, como de sus habilidades astronómicas
y geométricas. Del sistema sexagesimal de los babilonios hemos heredado tanto
la división de la circunferencia en 360 grados como la forma actual de medir el
tiempo en horas, minutos y segundos. Sus tablillas nos reservan unas cuantas
sorpresas matemáticas. Quizás la más importante, la tablilla Plimpton, nos
desvela el hecho sorprendente de que conocían las ternas pitagóricas mil años
antes de que Pitagoras viera la luz.
Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la
tablilla de barro Plimpton 322 , data de 1900 a de C., el papiro de Moscú de
1850 a de C., el papiro de Rhind de 1650 a de C. En todos estos textos se
menciona el teorema de Pitágoras, que es el más antiguo desarrollo matemático
después de la aritmética y la geometría básica.
La tablilla babilónica, conocida por el número de catálogo Plimpton
322 (por tener ese número de
la colección del mismo nombre) que se encuentra en la Columbia University
Library (N.Y.)) ejemplifica perfectamente lo que queremos
decir.
Esta tablilla data del período babilónico antiguo (ca.1900 a
1600 a.C.). Es tan sólo el fragmento de una tabla más grande, ahora perdida
para siempre, y demuestra no ser un simple registro de transacciones
comerciales como muchas de sus hermanas, sino un texto matemático percusor de
ideas trigonométricas muy cercanas a las actuales, con extraordinario grado de
exactitud, como vamos a ver.
La transcripción de las seis primeras filas es la siguiente:
1,59,0,15_______________________1,59____________2,49____________1
1,56,56,58,14,50,6,15____________56,7____________1,20,25__________2
1,55,7,41,15,33,45_______________1,16,41_________1,50,49__________3
1,53,10,29,32,52,16______________3,31,49_________5,9,1____________4
1,48,54,1,40____________________1,5_____________1,37_____________5
1,47,6,41,40____________________5,19____________8,1______________6
Hemos de tener en cuenta antes de empezar a desentrañar la
tablilla que los babilonios utilizaban la numeración sexagesimal, por lo que
debemos convertir las cifras a nuestra numeración antes de cualquier intento.
Tomemos la sexta línea, por ejemplo:
1,47,6,41,40________5,19______8,1______6
Tras la conversión en decimal obtenemos:
1,785192901_______319________481________6
La conversión se realiza de la siguiente forma:
1,47,6,41,40=1·600+47·60-1+6·60-2+41·60-3+40·60-4=1,785192901
y de la misma forma los siguientes números.
Convendrán conmigo que es una proeza inmensa encontrar la
relación entre estos números. Más aun teniendo en cuenta que nuestra tablilla
es una más entre un sinnúmero de ellas que recogen cifras sin mayor interés
matemático, que bien pudieran ser registros contables de mercancías.
Pues bien: la relación es la siguiente. Si tenemos un
triángulo rectángulo (ver figura) cuya hipotenusa valga 481 y uno de sus
catetos 319, entonces el otro cateto, mediante el teorema de Pitágoras vale
360.
El cociente entre la hipotenusa y este último cateto es
481/360= 1,33611111, y su cuadrado vale 1,785192901; exactamente hasta
el noveno decimal la primera cifra de la primera fila de la tablilla.
Varias cosas hay que comentar llegados a este punto: la
primera es que tal exactitud nos sirve para rechazar cualquier procedimiento de
medida real de triángulos para llegar al dato: su hallazgo debe ser teórico sin
lugar a dudas: no es posible medir hasta la milmillonésima sin error. Por otro
lado, el lector habrá observado que el cociente cuyo cuadrado es el número de
las primeras columnas es el cociente de dos números, uno de los cuales (la
hipotenusa) está en la tablilla, pero el otro no. En efecto, es el cateto
restante el que aparece en la tablilla, no el utilizado para el cociente.
Dicho cociente es el inverso del coseno del ángulo que forma
la hipotenusa con el cateto que no aparece en la tabla. Por tanto, la primera
columna representa los valores del cuadrado de la secante del ángulo citado.
Nosotros sabemos encontrar el cateto restante, dadas la
hipotenusa y un cateto mediante el Teorema de Pitágoras, pero presumiblemente
los babilónicos lo desconocían. También desconocían lo que era un seno, una
tangente o una secante. ¿Se puede mantener tal desconocimiento a las luces de
esta tablilla?
Pues sí se puede. Los antiguos eran antiguos, pero no eran
idiotas. Parece ser que sin conocer el teorema de Pitágoras, se conocían los
valores de ciertas ternas pitagóricas: ternas de números enteros a,b,c que
cumplían que a2=b2 + c2. Los
constructores de esta tabla debieron comenzar por dos números sexagesimales p,q ,
para hallar la terna (p2-q2, 2pq , p2+q2).
Un simple ejercicio de álgebra nos convence de que en efecto ésta es una terna
pitagórica. Limitándose a valores de p menores de 60, y a triángulos
rectángulos en los que b= p2-q2es menor que c=2pq, los
babilonios debieron descubrir que existían 38 pares posibles de p y q que
satisfacen las condiciones, con lo que construyeron las 38 ternas
correspondientes.
En nuestra tablilla aparecen las 15 primeras. Quizás, el
escriba prosiguiera en otra tablilla con las restantes. El orden de las filas
viene dado por los valores de la primera columna, de mayor a menor, y
corresponden a ángulos desde 45o hasta 31o.
Esta que ahora nos ocupa es, a juicio de los investigadores
una de las tablillas babilónicas más extraordinarias. Una muestra de la
extraordinaria exactitud de los cálculos de esta tablilla nos la proporciona la
fila décima. Una simple observación de la ilustración de la tablilla basta para
comprobar que el primer número de la décima tablilla tiene más dígitos que los
demás; efectivamente representa el cuadrado de la secante del ángulo
correspondiente con ocho cifras sexagesimales, lo que corresponde a catorce
decimales en nuestra notación decimal. Todos ellos correctos.
Ni la Nasa necesita ese nivel de exactitud en sus cálculos
de órbitas, pues los errores y las indeterminaciones de todo tipo son de mayor
entidad.
Finalmente, en el año 1954 Neugebauer y Sachs
publicaron en Mathematical cuneiform text, el
descifre de la tablilla (Plimpton 322)(un resumen lo puedes encontrar aquí) . En ella aparecen enumerados los
triángulos rectángulos con lados cuya medida sea un número entero, o sea, los
tríos de números pitagóricos x2 +
y2 = z2. La reconstrucción del método de su elección
conduce, aparentemente, a las fórmulas: x = p2 –
q2 ; y = 2pq ; z = p2 + q2, conocidas en la Teoría de los Números como
diofánticas.